1.7 Indução Matemática.

Definição 1.10.

Um conjunto M de números reais diz-se que é “conjunto indutivo”, se satisfaz as seguintes propriedades:

Exemplo 1.36.

• O conjunto R de números reais é indutivo, pois 0 é um número real e x +1 também é real para todo x real.

• O conjunto de todos os números inteiros é indutivo.

• O conjunto f0;, 1;, 2;, ¢¢¢} é indutivo 222

Exemplo 1.37.

Os seguintes conjuntos não são indutivos:

Cálculo Diferencial em R

²{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ¢¢¢} ²{ 0, 2, 4, 6, ¢¢¢} Em matemática, muitas definições e proposições se realizam utilizando o princípio de indução matemática.

A generalização de uma propriedade após verificação de que a propriedade é válida em alguns casos particulares, pode conduzir a sérios enganos como mostra o seguinte exemplo:

Exemplo 1.38.

Considere a relação f(n)=22n +1 definida para todo n .

N.

Temos que, quando:

n =0 então f(0) = 220 +1=3

n =1 então f(1) = 221 +1=5

n =2 então f(2) = 222 +1 = 17

n =3 então f(3) = 223 +1 = 257

n =4 então f(4) = 224 + 1 = 65537

Observe que todos aqueles números encontrados são números primos; P.

Fermat (1:601 - 1:665) acreditou que a fórmula f(n) representaria números primos qualquer que fosse o valor positivo para n .

N, pois esta indução era falsa Euler6 mostrou que para n =5 resulta f(5) = 4294967297 = 641 × 6700417, logo a afirmação de P.

Fermat foi precipitada.

Exemplo 1.39.

Consideremos a relação f(n)= n2 + n + 41 definida para todo n .

N

Observe que, para valores menores que 40;f(n) é um número primo.

Com efeito, se n = 1;f(1) = 43; se n =2;f(2) = 47; sen =3;f(3) = 53; ¢¢· ; se n = 39;f(39) = 1601.

Porém se n = 40 temos f(40) = 402 + 40 + 41 = (41)(41) não é primo, mostrando que a sentença é falsa.

Em 1772 Euler mostrou que f(n)= n2 +n+41 assume valores primos para n =0, 1, 2, 3, ¢¢· , 39.

Euler observando que f(n - 1) = f(¡n) mostrou que n2 + n + 41 assume valores primos para 80 números inteiros consecutivos, sendo estes inteiros:

n = ¡40, ¡39, ¡38, ¢¢· 0, 1, 2, 3, ¢¢· 38, 39; substituindo a variável n por n - 40 temos f(n - 40) = g(n)= n2 - 79n +1:601; logo g(n)= n2 - 79n +1:601 assume valores primos para todos os números naturais de 0 até 79.

Exemplo 1.40.

A sentença:

“2n +2 é a soma de dois números primos” é uma sentença verdadeira para n =1;n =2;n =3;n =4, ¢¢· e, como nos exemplos anteriores após muitas tentativas, não achamos nenhum número natural que a torne falsa.

Ninguém até hoje, achou um número natural que tornasse a sentença falsa e ninguém, até hoje, sabe demonstrar que a sentença é sempre verdadeira.

Esta famosa sentença conhecida como conjetura de Goldbach foi feita em 1742, em uma carta dirigida a Euler diz:

6Leonard Euler (1707¡1783) Estudou com Johann Bernoulli, ainda pai de treze filhos e ficando completamente cego, escreveu mais de oitocentos trabalhos e livros em todos os ramos da matemática.

“Todo inteiro par, maior do que 2, é a soma de dois números primos.”

Não sabemos até hoje se esta sentença é verdadeira ou falsa.

Em resumo, dada uma afirmação sobre números naturais, se encontramos um contra-exemplo, sabemos que a afirmação não é sempre verdadeira.

E se não achamos um contra-exemplo? Nesta caso, suspeitando que a afirmação seja verdadeira sempre, uma possibilidade é tentar demonstra-la recorrendo ao princípio de indução; é necessário portanto, dispor de um método com base lógica que permita decidir sobre a validade ou não de uma determinada indução, isto esta garantido com a seguinte proposição:

Propriedade 1.13.

Primeiro princípio de indução matemática.

Se P (n) é uma proposição enunciada em termos de n, para n .

N tal que:

1o P (1) é verdadeiro

2o P (h) é verdadeiro para h> 1, implica P (h + 1) é verdadeiro.

Então P (n) é verdadeiro 8n .

N.

A demonstração é exercício para o leitor.

Exemplo 1.41.

Solução.

Neste exemplo observe que P (n):1+2+3+4+ ¢¢· + n = .

Para n =1;P (1) :

1 = é verdadeira.

Suponhamos que P (h):1+2+3+4+ ¢¢· + h = seja verdadeira.

Mostrarei que P (h +1) :

1+2+3+4+ ¢¢· + h +(h +1) = é verdadeiro.

Com efeito, temos que:

Logo, pelo princípio de indução matemática cumpre:

Exemplo 1.42.

Deseja-se construir uma parede decorativa com tijolos de vidro da seguinte forma:

a primeira fileira (base) deverá ter 100 tijolos, a segunda fileira, 99 tijolos, a terceira, 98 tijolos e assim por diante até a última fileira que deverá ter apenas 1 tijolo.

Determine o número total de tijolos necessários para construir desta parede.

será igual a:

Solução.

Observe que a quantidade de número de tijolos necessários para cada fileira é um, número natural decrescente a partir de 100, logo temos aplicando a fórmula do Exemplo 1.48 que o total de tijolos é:

2 Portanto são necessários 5050 tijolos.