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Seja f : A ¡.
B uma função bijetiva, do fato Im(f)= B isto significa que para todo y .
B existe um único elemento x .
A, tal que f(x)= y.
Então podemos definir a função g : B ¡.
A tal que a cada y .
B corresponda um único x .
A tal que g(y)= x, isto é:
g(y)= x se e somente se f(x)= y
Definição 2.18.
Função inversa.
Se f : A ¡.
B é uma função injetora, a função g : B ¡.
A definida por g(y)= x se e somente se f(x)= y, denomina-se função inversa da função f e, é denotada por f¡1 .
A Figura (2.28) ilustra a relação que existe entre
a função f e a função inversa f¡1 .
f
Do diagrama da Figura (2.28) temos: ##
AB
-
i) A função f¡1of = idA onde (idA é função iden
x*
y* tidade em A) isto é f¡1(f(x)) = x, .
x .
A.
¾
"!g = f¡1 "!
ii) A função fof¡1 = idB onde (idB é função identidade em B) isto é f¡1(f(x)) = x, .
x .
B.
Figura 2.28: Função inversa
Exemplo 2.56.
x - 1
Dada a função f(x)= (x 62) calcule
=
x +2 f¡1(x).
Solução.
x - 1
Seja y = f(x), então y = , devemos isolar x nessa igualdade.
x +2
x - 1
Então y = .
y(x +2) = x +1 .
yx +2y = x - 1 .
y:x - x =
x +2
1+2y 1+2y
¡(1 + 2y) .
x = ¡.
x = .
1 - yy - 1 1+2y
Logo, f¡1(y)= , em geral a função não depende do parâmetro é indiferente escrever
y - 1 1+2x
y, t;z, etc, como variável; assim podemos escrever f¡1(x)= .
.
x - 1
Exemplo 2.57.
v
Mostrar que, se f(x)
=
n
a - xn , x> 0; tem-se que f(f(x)) = x.
Determine a função
n
n
inversa de y = f(x).
Solução.
p
pa - [f(x)]n pa - [
n
pa - [a - xn]= x do fato x> 0;
pp
Tem-se, f(f(x)) =
=
n
a - xn]n
=
v
Por outro lado, seja y = f(x), então y =
isto é f¡1(y)=
a - xn assim x =
n
a - yn v
n
a - yn,
n
sendo a função definida independente da variável resulta f¡1(x)=
n
a - xn