2.6.5 Função Limitada.

Definição 2.22.

Seja f : A ¡.

R uma função real.

a) Dizemos que a função f é “limitada superiormente“, quando existe M1 .

R tal que f(x) = M1 .

x .

D(f).

b) Dizemos que a função f é“limitada inferiormente”, quando existe M2 .

R tal que M2 = f(x) .

x .

D(f).

c) Se uma função for limitada superiormente e inferiormente, diz-se que ela é “limitada”, em

conseqüência temos que existe M .

R tal que | f(x) j= M .

x .

D(f), sendo M =

max :f| M1 j, | M2 jg.

Cálculo Diferencial em R 101

d) Se existe x .

D(f) tal que | f(x) j= M para algum M suficientemente grande, dizemos que f(x) é “função não limitada”.

Definição 2.23.

a) Se uma função f for limitada superiormente, o supremo do conjunto Im(f) denomina-se “supremo da função“, e indica-se com: sup :f(x)

x2A

b) Se o supremo do conjunto Im(f) for máximo, ele se denomina máximo da função f, e indica-se com: max :f(x) .

x2A

c) Se a função f é limitada inferiormente, o ínfimo do conjunto Im(f) denomina-se ínfimo da função, e indica-se com: inf :f(x).

x2A

d) Se o ínfimo do conjunto Im(f) for mínimo, ele se denomina mínimo da função f, e indica-se com: min :f(x) .

x2A

Exemplo 2.72.

a) A função constante f(x)= k, .

x .

R (k constante) é limitada, observe que sup :f(x)=

x2R

max :f(x) = inf :f(x) = min :f(x)= k.

x2R x2R x2R

b) A função h(x)= x2 definida no intervalo A =(¡2, 3) não é limitada; observe que sup :h(x)=

x2A

9 e inf :h(x) = 0 = min :h(x) porém não existe max :h(x) .

Esta função somente é limitada

x2Ax2Ax2A

inferiormente.

c) A função g(x)= x2 definida no intervalo A =[¡2, 3] é limitada; observe que sup :h(x)=9=

x2A

max :h(x) e inf :h(x) = 0 = min :h(x).

x2Ax2Ax2A