1.2 Sistema de Números Reais.

O estudo dos números reais pelo método axiomático, consiste em definir este “sistema numérico” mediante um grupo de axiomas, de modo que qualquer conjunto de números: naturais, inteiros, racionais e irracionais sejam formados por subconjuntos próprios do conjunto de números reais R.

Ha outro modo de se estudar os números reais, podemos defini-los em termos de números racionais, usando os clássicas cortes de Dedekind 1 ou as sucessões de Cauchy2 .

Porém, para o nosso estudo de -“Cálculo Diferencial em R” -é suficiente introduzir o sistema pelo método axiomático.

Consideremos os seguintes conjuntos numéricos:

Estudou o problema dos números irracionais, é mais bem conhecido pelo seu trabalho nos fundamentos do sistema de números reais.

2Augustin Cauchy (1789 - 1857) foi o fundador da análise moderna, aportou importantes resultados em outras áreas da matemática.

Além de suas atividades políticas e religiosas, escreveu 759 trabalhos em matemática.

Cálculo Diferencial em R

Qualquer número real pode ser considerado como um número racional ou número irracional.

Estes números racionais consistem dos seguintes:

a) Os inteiros positivos, negativos e o zero:

b) As frações positivas e negativas:

c) Os números decimais limitados (positivos e negativos):

d) Os números decimais ilimitados (positivos e negativos):

É importante lembrar que o símbolo
˜ significa aproximadamente.

Observe:

Se consideramos que 0, 999999 ¢¢· = =1 isto é um absurdo já que o número 1 é inteiro e

0, 999999 ¢¢· é um número decimal com uma infinidade de dígitos nove.

Assim é melhor entender 9

• Os números irracionais são aqueles números decimais não periódicos.

Por exemplo:
A Figura (1.1) mostra mediante diagramas de Venn3 a relação de inclusão entre os conjuntos.

É importante destacar que o número zero não é número positivo nem negativo.

3John Venn (1834-1923) publicou “Lógica Simbólica” em 1881 e “Os Princípios de Lógica Empírica” em 1889.

O segundo destes é bastante menos original mas o primeiro foi descrito por Keynes como provavelmente o trabalho mais duradouro em lógica.

Suponha que tenhamos a realizar operações aritméticas elementares (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radicação) com dois números quaisquer de um subconjunto dos números reais, e desejamos que o resultado pertença ao mesmo subconjunto.

Observe que, com os números naturais 4 e 7 não é possível efetuar a operação 4¡7 (subtração), pois sabemos que 4 - 7 não pertence ao conjunto N.

Assim, em geral temos que em:

N somente é possível efetuar operações de adição e multiplicação.

Z somente é possível efetuar operações de adição, subtração e multiplicação.

Q é possível efetuar operações de adição, subtração , multiplicação e divisão (desde que o divisor não seja zero).

I é possível efetuar operações de modo restrito.

R podemos efetuar operações de adição, diferença, multiplicação e divisão (desde que o divisor não seja zero).

C é possível efetuar operações de adição, diferença, divisão (com divisor não zero), multiplicação, potenciação e radicação.

O conjunto dos números complexos C tem mais propriedades que o conjunto dos números reais R.

Nosso objetivo neste capítulo será estudar as propriedades importantes do conjunto R.

Aos elementos de x .

Ré possível associar um ponto de uma reta, de modo que a este número real x corresponda um, e somente um, único ponto P como indica a Figura (1.2).

Dizemos "sistema de números reais"ao conjunto R, que satisfaz as operações de adição (+), multiplicação (?), uma relação de ordem (< ) que se lê “menor que”eo axioma do supremo.

O sistema de números reais pode ser denotado como (R, +, ?, < ) ou simplesmente escreve-se

R.

Outra notação para a multiplicação é um ponto.

Assim, por exemplo, se a, b .

R, tem-se que a
· b significa multiplicação (produto) dos números a e b.