3.- Rentas estrictamente variables

Se trata de las rentas variables en las que sus capitales no siguen ninguna ley de variación, en el caso de ser vencida:

Al no seguir ninguna ley de variación, no podemos utilizar ninguna fórmula abreviada de cálculo, por lo tanto procederíamos a la actualización o capitalización de cada capital:

a.- El valor actual: Va = C1 (1 + i) - 1 + C2 (1 + i) - 2 + … + Cn (1 + i) - n

b.- El valor final: Vf = C1 (1 + i) n - 1 + C2 (1 + i) -n - 2 + … + Cn

4.- Rentas variables en progresión geométrica

Una renta será variable en progresión geométrica cuando cada capital se obtiene del anterior multiplicado o dividiendo por un número constante. Al primer capital se le denominará C y al número constante o razón se le denominará q , el valor de q será siempre positivo, pudiendo ser:

- Mayor que la unidad, q >1, con lo que la renta sería de capitales crecientes en progresión geométrica

- Menor que la unidad pero mayor de 0, 0 < q < 1, con lo que la renta sería de capitales decrecientes en progresión geométrica.

Conocido el primer capital C, y el valor de la razón, podemos calcular el importe de cualquier capital enésimo: Cs = C . q s - 1

 Valor actual y final como renta inmediata y vencida.

La representación gráfica de la operación sería:

El valor actual, cuya notación será A (C , q) n  i , se obtendrá con la actualización de los capitales y después sacando factor común a C • (1 + i) - 1

Va = C • (1 + i) - 1 + C• q (1 + i) - 2 + C • q2 (1 + i) - 3 + …… + C • q n - 1 (1 + i) - n

Va = C • (1 + i) - 1  1 + q (1 + i) - 1 + q2 (1 + i) - 2 + …… + q n - 1 (1 + i) - n + 1 

En el corchete hay una progresión geométrica decreciente cuya razón es q (1 + i) - 1, el primer término es 1 y el último q n - 1 (1 + i) - n + 1 , sumando sus términos quedará:

Operando las potencias y positivando el denominador tendremos:

Va = C • (1 + i) - 1 • = C • (1 + i) - 1 • obteniendo

A (C , q) n  i = C • que es el valor actual de la renta geométrica

El valor final, S (C , q ) n  i , se obtendrá con la capitalización el valor actual:

Vf = S (C , q ) n  i = A (C , q) n  i • (1 + i) n operando

S (C , q) n  i = C•

 La anomalía del denominador.

La razón q normalmente viene dada en porcentaje, por lo que en las fórmulas ha de venir expresada, al igual que el tipo de interés, en tanto por uno, por lo que analizando el denominador pueden darse las siguientes situaciones:

1.- Que el valor de q < (1 + i), que es el caso normal

2.- Que el valor de q > (1 + i), lo que implicaría obtener un valor negativo, pero como en el numerador sucedería lo mismo la solución quedaría positiva.

3.- Que el valor de q = (1 + i), lo que implicaría que la expresión del valor actual o final daría como resultado una indeterminación del tipo . Para resolverla se procederá a la actualización de cada uno de los capitales al punto de origen de la renta:

Para ello se sustituirá el valor de q por (1 + i) al ser ambos iguales, con lo que la renta quedará del siguiente modo:

C C• (1+i) C• (1+i)2 ………. C• (1+i)n-1

0 1 2 3 ………. n-1 n

Va = C (1 + i)- 1 + C (1 + i) (1 + i)- 2 + C (1 + i)2 (1 + i)- 3 + .. + C (1 + i) n - 1 (1 + i) - n

Operando las potencias quedará:

Va = C (1 + i) - 1 + C (1 + i) - 1 + C (1 + i) - 1 + …. + C (1 + i) - 1

Por lo que en el caso en que se cumpla que: q = (1 + i), el valor actual será:

A (C , q) n  i = C • n • (1 + i) - 1

El valor final sería la capitalización del valor actual anterior:

S (C , q) n  i = C • n • (1 + i) - 1 • (1 + i) n

En el caso de ser anticipada:

Ä (C , q) n  i = C • n • (1 + i) - 1 • (1 + i) = C • n

 El valor actual de la renta perpetua y vencida.

El valor de la renta cuando es de duración indefinida puede calcularse como el límite del valor de su renta temporal. Para ello comprobamos que en la fórmula del valor actual los únicos elementos afectados por el tiempo son q n • (1 + i) - n , si positivamos la potencia quedaría: tomado límites para valores de q < (1+ i): será 0, por lo tanto:

A (C , q)   i = C •

Las rentas anticipadas se obtendrán multiplicando las expresiones por (1 + i).