6.- El valor actual de una renta unitaria y vencida (postpagable)

Vamos a calcular la forma abreviada de obtener el capital suma al principio de la operación de una renta de cuantía unitaria que vence al final de cada periodo, durante n periodos. Para ello llevaremos todos los capitales unitarios al principio de la operación mediante el factor de contracapitalización. Su representación gráfica será:

Sumamos todos los valores para obtener el capital suma que será el valor actual:

Va = (1+i) - 1 + (1+i) - 2 + (1+i) - 3 + ………. + (1+i) - (n -1) + (1+i) - n

Sacando factor común a (1+i) - 1

Va = (1+i) - 1 [ 1 + (1+i) - 1 + (1+i) - 2 + ………. + (1+i) - n +2 + (1+i) - n + 1 ]

Dentro del corchete se ha formado una progresión geométrica decreciente de n términos, siendo el primer término 1, el último (1+i) - n + 1 y la razón (1+i) - 1 • Sustituyendo estos valores en la expresión matemática de la suma de los n términos de una progresión geométrica decreciente, sabiendo que dicha expresión es:

S = sustituyendo tendremos

Va = (1+i) - 1 • operando las potencias del numerador,

Positivando el denominador y operándolo:

Va = (1+i) - 1 • = (1+i) - 1 • =

= (1+i) - 1 • (1+i) •

Va = Esta expresión se representará con el símbolo a n i

Que representará a la expresión matemática del valor actual de una renta unitaria, es decir que con esta expresión podemos obtener de forma rápida la suma de n capitales unitarios. Si queremos obtener la suma de n capitales de cuantía C, bastará con multiplicar la expresión por la cuantía del capital:

Va = C • a n i