4.- ¿Cómo podemos calcular, en principio, dicho coste o rentabilidad?

Aplicando la fórmula conocida podemos calcular como afecta a la operación el fraccionamiento de los pagos, la ecuación sería:

( 1 + i ) = ( 1 + im ) m

donde:

 im es el tanto fraccionado, respecto al tanto nominal anual pactado en la operación.

 i es el tanto de interés efectivo anual teniendo en cuenta el número de pagos.

 m es el número de pagos a efectuar cada año.

Ahora vamos a continuar con el ejemplo propuesto para comprobar lo explicado antes. El tanto nominal o tanto de interés pactado era del 6 % anual, en tanto por uno, 6 % : 100 = 0,06:

• Si los pagos son anuales al ser m = 1, el valor de im es igual a i

(1 + i) = (1 + 0,06)1

i = (1 + 0,06)1 – 1 = 1,06 – 1 = 0,06

multiplicando por 100, el interés anual es del 6 % anual

• Si los pagos son semestrales. El interés semestral sería im = 6 % : 2 = 3 %, expresándolo en tanto por uno y sustituyendo en la fórmula propuesta al igual que antes:

(1 + i) = (1 + 0,03)2

i = (1 + 0,03)2 – 1 = 1,0609 – 1 = 0,0609

multiplicando por 100, el interés anual es del 6,09 % anual

• Si los pagos son trimestrales. El interés trimestral sería im = 6 % : 4 = 1,5 %, expresándolo en tanto por uno y sustituyendo en la fórmula propuesta al igual que antes:

(1 + i) = (1 + 0,015)4

i = (1 + 0,015)4 – 1 = 1,06136355 – 1 = 0,06136355

multiplicando por 100, el interés anual es del 6,13 % anual

• Si los pagos son mensuales. El interés mensual sería im = 6 % : 12 = 0,5 %, sustituyendo:

(1 + i) = (1 + 0,005)12

i = (1 + 0,005)12 – 1 = 1,0616778 – 1 = 0,0616778

multiplicando por 100, el interés anual es del 6,16 % anual

Como podemos comprobar el coste efectivo aumenta conforme el número de pagos por año se incrementa, tal como habíamos afirmado. Lo que equivaldría a decir que si pagamos de forma anual el coste real es del 6 %, pero si pagamos de forma fraccionada el coste se incrementa al adelantar al prestamista cantidades de dinero pasando a ser del 6,09 %, 6,13 % o 6,16 %.

En el primer caso el exceso del 6 %, es decir el 0,09 % supone lo que dejamos de percibir al tener que efectuar un primer pago a los seis meses en vez de invertir dicho dinero durante el resto del año, en el segundo caso supondría un 0,13 %, con lo que se comprueba financieramente la afirmación de que a mayor fraccionamiento mayor coste para el prestatario.

Este hecho supone lo que en el lenguaje financiero se denomina productividad de los intereses, y podemos comprobarlo con el ejemplo propuesto:

• Los 1.000 € al 6 % y a un año, suponen: I = 1.000 • 0,06 = 60 € que se cobran o pagan de una sola vez.

• Si fuesen semestrales tendríamos que cobrar o pagar cada semestre un 6 % : 2 = 3 %, que en euros serían: I = 1.000 • 0,03 = 30 €, pero si los primeros 30 euros se invirtiesen al mismo tipo de interés durante el segundo semestre hasta el fin de la operación rentarían: I = 30 • 0,03 = 0,9 €. Por lo que el total que hubiésemos ganado sería de: 30 + 0,9 + 30 = 60,9 € en lugar de las 60 € si se hubiesen cobrado de una sola vez.

Para que hubiese sido indiferente cobrar al año o al semestre, el tipo de interés efectivo anual que deberían habernos pagado sería del 6,09 % como ya habíamos calculado antes y que en euros serían: I = 1.000 • 0,0609 = 60,9 €. El mismo razonamiento sirve para un préstamo, a nosotros por adelantar el pago un semestre nos supone un coste, es decir el dinero que dejamos de ganar por no poder invertir los 30 € pagados, ese dinero son 0,9 € que pasa a disfrutar el prestamista y no nosotros.