11- EJEMPLOS INTEGRADORES

Ejemplo 25

Dada la función de demanda p = 8-3q y la función Cme = q-3+2/q de un monopolista.

a-) Represente las funciones de los costos e ingresos totales.

b-) Represente las funciones de los costos e ingresos marginales.

c-) Determine el valor de producción que maximiza la ganancia. Halle su valor. Corrobore estos resultados en los incisos anteriores.

d-) Calcule la elasticidad de la demanda para q =1 y q =2. Determine para que valor de producción la demanda es unitaria.

Solución:

a-) Función de costos totales: Función de ingresos totales:

Cme = CT/q IT = P*q

CT = Cme*q IT = (8-3q)*q

CT = (q-3+2/q)*q IT = 8q-3q2

CT = q2-3q+2

b-) Función de costo marginal: Función de ingreso marginal:

CM = (CT)’ IM = (IT)’

CM = ( q2-3q+2)’ IM = (8q-3q2)’

CM = 2q-3 IM = 8-6q

c-) La ganancia máxima se obtiene cuando:

IM = CM Función de ganancias totales:

8-6q = 2q-3 GT = IT - CT

8+3 = 2q+6q GT = (8-3q) – ( q2-3q+2)

11 = 8q GT = 6 –q2

1.375 u = q

Sustituir q = 1.375 en GT:

GT = 6- (1.375)2

GT = $ 4.10

Rta: Con una producción de 1.375 unidades se obtiene el valor de ganancia máxima de $4.10.

d-) E(d,p) = - p/d * d’(p) d’(p) = -1/3

E(d,p) = -p/ (p-8)/-3 * (-1/3)

E(d,p) = -p/ (p-8)

Para q= 1 Para q =2

p = 8-3*1 = 5 p = 8-3*2

E(d,p) = -5/5-8 = 1.66 E(d,p) = -2/2-8 = 0.33

Rta: Para q= 1 y para q= 2 la elasticidad de la demanda es elástica.

Demanda unitaria :

E(d,p) = 1 p = 8-3q

E(d,p) = -p/ (p-8) Sustituir p =4

1 = -p/ (p-8) 4 = 8-3q

p-8= -p q = 1.33 u

p =4

Rta: Para q= 1.33 la demanda es unitaria.

Ejemplo 26

Una empresa industrial determinó que sus funciones de ingresos y costos totales para uno de sus productos son 4q2-q y 3q2+2q-20. Se desea obtener:

a-) El nivel de producción que maximiza la ganancia. El valor de esta y el precio al que debe venderse el producto.

b-) El nivel de producción que maximiza el ingreso y el valor correspondiente de la ganancia.

Solución:

a-) La ganancia máxima se obtiene cuando:

IM = CM IM= (IT)’ CM=(CT)’

8q-1 = 6q+3 IM= (4q2-q)’ CM= (3q2+2q-20)’

8q-6q = 3+1 IM= 8q-1 CM= 6Q+3

2q = 4

q = 2 u

La función de ganancia es: Sustituir q =2 en la función de GT:

GT = IT-CT GT = 22-4*2+20

GT = (4q2-q)- (3q2+2q-20) GT = $16.00

GT = q2-4q+20

La función de ingresos es: Sustituir q =2 en la función de precios:

IT = P*q P = 4*2-1

IT/q = P P = $7.00

(4q2-q)/q = P

4q-1 = P

Rta: El nivel de producción que maximiza la ganancia es de 2 unidades, se obtiene una ganancia de $16.00, vendiendo cada unidad a un precio de $7.00.

B-) El ingreso máximo se obtiene cuando: Sustituir q = 1/8 en GT:

IM = 0 GT = (1/8)2-4*1/8+20

8q-1 = 0 GT = $19.51

q = 1/8 u

Rta: El nivel de producción que maximiza los ingresos es de 1/8 unidades. Para este valor de producción se obtiene una ganancia total de $19.51.

Ejemplo 27

Se conoce que el precio y la cantidad de equilibrio para una empresa son (Pe,qe) = (30,6) y la función de costos marginales es C’(q) = q2 +10.

a-) Obtener la expresión de la función de costos totales si la empresa tiene una ganancia de $100 cuando alcanza el equilibrio.

Solución

CT(q) = ∫ C’(q)*dq - Calcular para q= 6

= ∫ (q2 +10) dq

= q3/3 +10q + C

= 63/3+10*3+C

= 132 + C

IT = P*q = 30*6 = 180

GT = IT – CT

100 = 180 – (132+C)

C = 52

Rta: La función de costos totales está dada por la expresión CT(q) = q3/3 +10q + 52.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

Colectivo de Autores. 1997. Fundamentos de Optimización Matemática para la Economía y la Empresa con Derive y Mathematica en un entorno Windows. Editorial RA-MA.P. 150-210.

Colectivo de Autores. 1997. Matemáticas en la Economía y la Empresa con Derive y Mathematica en un entorno Windows. Editorial RA-MA. P. 397-405

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Fernández, Celia. 1998. Fundamentos matemáticos y su aplicación económica. La Habana. p. 26-31, 64-67, 99-102

Miller, R. 1988. Microeconomía. P. 102-104, 118-120, 178-180, 620-624. Editorial McGraw-Hill.

Samuelson, P. Economía I, II, III y IV. España. p.58,79-102, 113-115, 130-134,144-154, 152-154, 196-205.

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