A. Desarrollo

1. Estimación Primal y Dual para la contabilidad del Crecimiento

La funcion de produccion neoclasica es:

Donde A representa la tecnologia, K el stock de capital y L la cantidad de trabajo.

Como es conocido, la tasa de crecimiento de una de las tres variables (en este caso ) es igual a la suma de sus respectiva tasa de crecimiento.

Derivando la ecuación 1 con respecto al tiempo obtenemos:

Ordenando

Es la variacion que experimenta Y cuando varia K, en la literatura economica se denomina Productividad Marginal del K (PMK).

Es la variacion que experimenta Y cuando varia L, en la literatura economica se denomina Productividad Marginal del L (PML).

Sabiendo lo anterior, la última ecuación queda:

Ahora se divide entre Y para obtener la tasa de crecimiento de Y.

Denominamos y a PMK Y PML respectivamente.

Donde

Si el factor tecnologia aparece en la función como neutral en el sentido de Hicks entonces:

Esto se puede aclarar de mejor manera con un ejemplo, supongamos que estamos trabajando con una funcion Cobb-Douglas con retornos constantes a escala.

Derivando con respecto a A

Si sustituimos este resultado en la ecuación 3 nos queda, adicionalmente recuerde que la derivada de Y con respecto de A, es denominado .

Recordando la ecuación 2

Despejando de aquí “ ” nos queda

En un mercado completamente competitivo el precio de los factores de producción es igual a su producto marginal y dado que el precio del trabajo y del capital son el salario (w) y la renta del capital (R) respectivamente:

De aquí deducimos que

Donde

Son las respectivas partes que cada factor (capital y trabajo) aportan al total del producto.

Los resultados anteriores se pueden expresar de forma intensiva

Sabiendo que la tecnologia aparece en la función de producción como neutral en el sentido de Hicks, por lo que

Dividiendo por “L” o expresandolo en unidades por trabajador

Derivando con respecto al tiempo

Se multiplica cada factor del lado derecho de la ecuación por un factor que no afecte los resultados, como por ejemplo o que básicamente es como si multiplicáramos la ecuación por uno.

PMk es el producto marginal del capital per cápita se denota y PMA

Dividiendo entre y para obtener la tasa de crecimiento de y

Como se demostró en 3.2

Sustituyendo este resultado en la ecuación anterior

, es la parte que el capital per cápita aporta al producto, que es igual al aporte del capital en el producto, antes denotado .

Despejando

Estimación Dual para la contabilización del Crecimiento

El enfoque dual puede deducirse fácilmente de la igualdad entre la producción y el factor de los ingresos

Continuación

En un mercado perfectamente competitivo la remuneración del capital y del trabajo es igual a sus respectivos productos marginales

Sustituyendo estas últimas igualdades en la ecuación precedente obtenemos.

Dividiendo entre “Y” para obtener su tasa de crecimiento

Si definimos Y como las cuotas de cada factor en el ingreso total

(a)

Sustituyendo nos queda

(b)

Separando

(c)

Recuerde que 2 definimos que

Sustituyendo en a en 2

Despejando g

(d)

Si de c despejamos de tal forma que

Podemos Obtener que el lado derecho de esta ultima ecuación es igual al lado derecho de d por lo que podemos sustituir

Es decir