5.2.1 Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases)

Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de fases de este modelo son:

1er Ecuación diferencial:

2da Ecuación diferencial:

Encontrando la curva:

De la 1er Ecuación diferencial

Si

Entonces

Gráfico [5.6]: Diagrama de fases con progreso tecnológico de

Si nos situamos por encima de la curva , vemos que un pequeño movimiento de irá asociada a una disminución de . Dado que la 1er Ecuación diferencial, donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima de la , el capital decrece . Denotamos el movimiento de flechas así la izquierda, tal como aparece en el gráfico [5.6]. Las flechas se dirigen en forma horizontal por que en el eje horizontal aparece .

Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a se obtiene:

Donde se demuestra que al aumentar el valor de disminuye el valor de

De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la curva , las flechas apuntan así la derecha, diciéndonos que por debajo de la curva , el capital crece , en este caso las flechas apuntan hacia la derecha.

Encontrando la curva:

De la 2da ecuación diferencial

Si

Entonces

, Representa la ecuación de una recta que es paralela al eje de ordenadas

Esto quiere decir si nos encontramos por encima de la curva , por un aumento de un poquito de , Dado que es una función creciente, por lo que el valor de de la 2da Ecuación diferencial pasa hacer negativo . Concluimos que a la derecha de la curva, el consumo decrece, por lo que se dibuja las flechas apuntando hacia abajo.

Para demostrar esto pasaremos a derivar la segunda ecuación con respecto a

Lo que nos dice que a la derecha de será

De la misma manera una disminución de hará que sea positivo. Esto significa que nos encontramos a la izquierda de , las flechas apuntarán hacia arriba como se aprecia en el gráfico [5.7], donde las flechas positivas se denota por .

Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el consumo de oro modificado , que es aquel consumo que maximiza el bienestar de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital por trabajador modificado con en nuevo consumo.

Para esto de la 2da Ecuación diferencial , reemplazando el valor de , con esto , entonces es el punto de tangencia de la función que es estrictamente decreciente y como se puede apreciar en el gráfico [5.4] la función es estrictamente de creciente y convexa. Al cortarse estas la tangencia con la función generan un punto que se llama el capital de oro modificado ( ), al proyectar este punto, al grafico inferior nos da el consumo de oro modificado óptimo ( ) que estábamos buscando.

En el caso de una función Cobb-Douglas, nos da un capital por trabajador de oro modificado óptimo .

Donde esta representado por una línea vertical. El lector habrá notado que el stock de capital por trabajador hallado es menor que el stock de capital de oro y eso es por que y es una función decreciente.

5.2.2 Estado de crecimiento proporcionado

El estado de crecimiento proporcionado, se halla cuando las curvas y se cruzan y esto se puede observar en el grafico [5.5], que se curtan en tres puntos.

El primer punto que esta representado por de un sol de color naranja, es el eje de coordenadas donde y .

El segundo punto que representa al estado proporcionado, que esta representado por un sol de color verde fosforescente, es el punto , que corresponde a la intersección de , de la 1er Ecuación diferencial , reemplazando y obtenemos el capital que satisface , donde este capital esta a la derecha del capital máximo.

El tercer punto es en la intersección de y en este punto esta representado en el grafico con un solo de color amarillo. El capital en este punto en el largo plazo esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que conlleva a cantidades positivas del consumo.

En el estado proporcionado es una situación en que las variables per cápita crecen a una tasa constante. Se describe el comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo.