5.1.4 Planteamiento del problema

(Función Objetivo)

(Ecuación de Movimiento)

(Condición Inicial)

Para solucionar el problema se debe cumplir que: es decir que la tasa de descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de la población.

1) Comenzaremos a solucionar el problema de control optimo por el método que nos dejo Pontryagin, que se basa en la metodología del Hamiltoniano, para esto pasaremos a plantear el hamiltoniano.

Donde

Variable de estado.

: Variable de control.

: Variable de coestado.

Condición de Primer Orden (CIO)

2) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control e igualándolo a cero.

Valor actual de la utilidad = Multiplicador Dinámico

3) Tomando la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado e imponiendo la igualdad al negativo de la derivada del multiplicador con respecto al tiempo.

4) Tomando la derivada con respecto al multiplicado lagrangiano, tenemos:

Condición de Segundo Orden (CIIO)

>0 x 0<

Esta condición nos asegura un consumo máximo y La concavidad del consumo.

5) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero.

Condición de Transversalidad

Esto quiere decir que (el precio implícito de capital en el periodo final) o que (el stock de capital en el momento que muere).

De la ecuación (II) tenemos

Aplicando logaritmo neperiano a la ecuación (I) tenemos:

Aplicando la derivada temporal (derivada con respecto a “t”) a la ecuación tenemos:

A la ecuación anterior multiplicaremos y dividiremos entre el consumo por trabajador ( )

Donde

: Representa la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.

Multiplicando por -1 a ala ecuación ( ), tenemos:

Igualando las ecuación (II) con la ecuación (IV)

Despejando , tenemos:

, La proposición Ramsey - Keynes

Esta ecuación nos dice que la tasa óptima del consumo por trabajador es la razón del producto marginal del capital menos la tasa de depreciación y la tasa de descuento intertemporal dividido sobre la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo por trabajador.

Evolución del consumo por unidad de trabajo efectivo.

Así mismo se puede expresar la ecuación como:

5.1.5 Sistema de Ecuaciones Diferenciales (Diagrama de fases)

Existen dos ecuaciones diferenciales que nos ayudan a graficar el diagrama de fases de este modelo son:

1er Ecuación diferencial:

2da Ecuación diferencial:

Encontrando la curva:

De la 1er Ecuación diferencial

Si

Entonces

Si nos situamos por encima de la curva , vemos que un pequeño movimiento de irá asociada a una disminución de . Dado que la 1er Ecuación diferencial, donde el consumo aparece con signo negativo, entonces concluimos que por encima de la , el capital decrece . Denotamos el movimiento de flechas así la izquierda, tal como aparece en el gráfico [5.2]. Las flechas se dirigen en forma horizontal por que en el eje horizontal aparece .

Derivando la primera ecuación diferencial con respecto a se obtiene:

Donde se demuestra que al aumentar el valor de disminuye el valor de

De la misma manera analizaremos que pasa si ubicamos un vector por debajo de la curva , las flechas apuntan así la derecha, diciéndonos que por debajo de la curva , el capital crece , en este caso las flechas apuntan hacia la derecha.

Encontrando la curva:

De la 2da ecuación diferencial

Si

Entonces

, Representa la ecuación de una recta que es paralela al eje de ordenadas

Esto quiere decir si nos encontramos por encima de la curva , por un aumento de un poquito de , Dado que es una función creciente, por lo que el valor de de la 2da Ecuación diferencial pasa hacer negativo . Concluimos que a la derecha de la curva, el consumo decrece, por lo que se dibuja las flechas apuntando hacia abajo.

Para demostrar esto pasaremos a derivar la segunda ecuación con respecto a

Lo que nos dice que a la derecha de será

De la misma manera una disminución de hará que sea positivo. Esto significa que nos encontramos a la izquierda de , las flechas apuntarán hacia arriba como se aprecia en el gráfico [5.3], donde las flechas positivas se denota por .

5.1.6 Análisis Cualitativo

Ahora antes de juntar los dos diagramas de fases en un solo pasaremos a hallar el consumo de oro modificado , que es aquel consumo que maximiza el bienestar de los agentes de la sociedad en su conjunto y también se tendrá un nuevo capital por trabajador modificado con en nuevo consumo.

Para esto de la 2da Ecuación diferencial , reemplazando el valor de , con esto , entonces es el punto de tangencia de la función que es estrictamente decreciente y como se puede apreciar en el gráfico [5.4] la función es estrictamente de creciente y convexa. Al cortarse estas la tangencia con la función generan un punto que se llama el capital de oro modificado ( ), al proyectar este punto, al grafico inferior nos da el consumo de oro modificado óptimo ( ) que estábamos buscando.

En el caso de una función Cobb-Douglas, nos da un capital por trabajador de oro modificado óptimo .

Donde esta representado por una línea vertical. El lector habrá notado que el stock de capital por trabajador hallado es menor que el stock de capital de oro y eso es por que y es una función decreciente.

5.1.7 Estado de crecimiento proporcionado

El estado de crecimiento proporcionado, se halla cuando las curvas y se cruzan y esto se puede observar en el grafico [5.5], que se curtan en tres puntos.

El primer punto que esta representado por de un sol de color naranja, es el eje de coordenadas donde y .

El segundo punto que representa al estado proporcionado, que esta representado por un sol de color verde fosforescente, es el punto , que corresponde a la intersección de , de la 1er Ecuación diferencial , reemplazando y obtenemos el capital que satisface , donde este capital esta a la derecha del capital máximo.

El tercer punto es en la intersección de y en este punto esta representado en el grafico con un solo de color amarillo. El capital en este punto en el largo plazo esta economía converge necesariamente a un estado de proporcionado que conlleva a cantidades positivas del consumo.

En el estado proporcionado es una situación en que las variables per cápita crecen a una tasa constante. Se describe el comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo:

si y solo si, lo que implica que

El stock de capital no cambie se tiene que cumplir que el consumo per cápita no varíe.

si y solo si, lo que implica que

En el estado de crecimiento proporcionado: y

Si

Stock de capital del estado proporcionado

El PIB per capita de estado estacionario, se obtiene sustituyendo el capital de estado proporcionado en la función de producción:

Producción en el estado proporcionado

Sabiendo que el consumo per cápita es la renta menos el ahorro, lo calculamos como:

Consumo per cápita en el estado proporcionado