CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.5.2 Função inversa.

Seja f : A ¡.

B uma função bijetiva, do fato Im(f)= B isto significa que para todo y .

B existe um único elemento x .

A, tal que f(x)= y.

Então podemos definir a função g : B ¡.

A tal que a cada y .

B corresponda um único x .

A tal que g(y)= x, isto é:

g(y)= x se e somente se f(x)= y

Definição 2.18.

Função inversa.

Se f : A ¡.

B é uma função injetora, a função g : B ¡.

A definida por g(y)= x se e somente se f(x)= y, denomina-se função inversa da função f e, é denotada por f¡1 .

A Figura (2.28) ilustra a relação que existe entre

a função f e a função inversa f¡1 .

f

Do diagrama da Figura (2.28) temos: ##

AB

-

i) A função f¡1of = idA onde (idA é função iden

x*

y* tidade em A) isto é f¡1(f(x)) = x, .

x .

A.

¾

"!g = f¡1 "!

ii) A função fof¡1 = idB onde (idB é função identidade em B) isto é f¡1(f(x)) = x, .

x .

B.

Figura 2.28: Função inversa

Exemplo 2.56.

x - 1

Dada a função f(x)= (x 62) calcule

=

x +2 f¡1(x).

Solução.

x - 1

Seja y = f(x), então y = , devemos isolar x nessa igualdade.

x +2
x - 1

Então y = .

y(x +2) = x +1 .

yx +2y = x - 1 .

y:x - x =

x +2

1+2y 1+2y

¡(1 + 2y) .

x = ¡.

x = .


1 - yy - 1 1+2y

Logo, f¡1(y)= , em geral a função não depende do parâmetro é indiferente escrever

y - 1 1+2x

y, t;z, etc, como variável; assim podemos escrever f¡1(x)= .

.

x - 1

Exemplo 2.57.

v

Mostrar que, se f(x)

=

n

a - xn , x> 0; tem-se que f(f(x)) = x.

Determine a função

n

n

inversa de y = f(x).

Solução.

p

pa - [f(x)]n pa - [

n

pa - [a - xn]= x do fato x> 0;
pp

Tem-se, f(f(x)) =

=

n

a - xn]n

=

v

Por outro lado, seja y = f(x), então y =

isto é f¡1(y)=

a - xn assim x =

n

a - yn v

n

a - yn,

n

sendo a função definida independente da variável resulta f¡1(x)=

n

a - xn