MANUAL DE ESTADÍSTICAS

David Ruíz Muñoz
Universidad Pablo de Olavide

Capítulo VI : Variables Aleatorias

Introducción

Dentro de la estadística se pueden considerar dos ramas perfectamente diferenciadas por sus objetivos y por los métodos que utilizan: Estadística Descriptiva o Deductiva Inferencia Estadística o Estadística Inductiva

Fenómenos Aleatorios

Un experimento es cualquier situación u operación en la cual se pueden presentar uno o varios resultados de un conjunto bien definido de posibles resultados

Los experimentos pueden ser de dos tipos según si, al repetirlo bajo idénticas condiciones: Determinístico Se obtienen siempre los mismo resultados

Ej: medir con la misma regla e identicas condiciones la longitud de una barra Aleatorio No se obtienen siempre los mismo resultados

Ej: el lanzamiento de una moneda observando la sucesión de caras y cruces que se presentan Las siguientes son características de un experimento aleatorio:

Espacio Muestral

Se denomina resultado básico o elemental, comportamiento individual o punto muestral a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Los resultados básicos elementales serán definidos de forma que no puedan ocurrir dos simultáneamente pero si uno necesariamente

Se denomina conjunto universal, espacio muestral o espacio de comportamiento E al conjunto de todos los resultados elementales del experimento aleatorio. Pueden ser de varios tipos: Espacio Muestral Discreto Espacio muestral finito Espacio muestral infinito numerable Tiene un número finito de elementos. Tiene un número infinito numerable de elementos es decir, se puede establecer una aplicación biyectiva entre E y N

Ejemplo: Experimento aleatorio consistente en lanzar un dado. El espacio muestral es

Experimento aleatorio consistente en lanzar un dado hasta que sea obtenido el número 1

Espacio Muestral Continuo Si el espacio muestral contiene un número infinito de elementos, es decir, no se puede establecer una correspondencia biunívoca entre E y N

Ejemplo: Experimento aleatorio consistente en tirar una bola perfecta sobre un suelo perfecto y observar la posición que ocupará esa bola sobre la superficie. E={Toda la superficie del suelo}

Sucesos

Un suceso es un subconjunto del espacio muestral, es decir, un subconjunto de resultados elementales del experimento aleatorio

Diremos que ocurre o se presenta el suceso cuando al realizarse el experimento aleatorio, da lugar a uno de los resultados elementales pertenecientes al subconjunto S que define el suceso Se pueden considerar cuatro tipos de sucesos según el nº de elementos que entren a formar parte:

Operaciones con sucesos

Con los sucesos se opera de manera similar a como se hace en los conjuntos y sus operaciones se definen de manera análoga. Los sucesos a considerar serán los correspondientes a un experimento aleatorio y por tanto serán subconjuntos del espacio muestral E

Suceso Contenido en Otro Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: Diremos que A está incluido en B si: Cada suceso elemental de A pertenece también a B, es decir, siempre que ocurre el suceso A, también ocurre el suceso B

Diremos también que A implica B

A B . ó A B

Igualdad de Sucesos Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: Diremos que A y B son iguales si: Siempre que ocurre el suceso A también ocurre B y al revés. Unión de Sucesos Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: La unión de ambos sucesos A y B es: Otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elementales pertenecientes a A, a B, o a los dos a la vez A B .

Otro suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen al menos a uno de los sucesos Ai.

Intersección de Sucesos Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: La intersección de ambos sucesos A y B es: Otro suceso compuesto por los resultado o sucesos elementales que pertenecen a A y a B, simultáneamente

En general, dados n sucesos A1, A2, A3,..., An, su intersección es otro suceso formado por los resultados o sucesos elementales que pertenecen a todos los sucesos Ai.

Sucesos Disjuntos, Incompatibles o Excluyentes Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: Diremos que estos sucesos A y B son disjuntos, incompatibles o mutuamente excluyentes cuando: No tienen ningún suceso elemental en común o dicho de otra forma, si al verificarse A no se verifica B, ni al revés.

Sistema Exhaustivo de Sucesos Dados n sucesos A1, A2, A3,..., An de un experimento aleatorio: Diremos que estos forman una colección o sistema exhaustivo de sucesos si la unión de todos ellos es igual al espacio muestral E

Diremos que estos forman un sistema completo de sucesos o una partición de E si, además de la anterior, condición, se cumple que son disjuntos dos a dos, es decir, son mutuamente excluyentes, disjuntos o incompatibles.

El conjunto de todos los sucesos elementales que constituyen un espacio muestral forman una colección de sucesos mutuamente excluyente y exhaustivo ya que, de todos ellos, sólo uno debe ocurrir y no pueden ocurrir dos simultáneamente

Suceso Complementario o Contrario Dado un suceso A de un experimento aleatorio: A

Se define como suceso complementario o contrario de A a: Otro suceso que ocurre cuando no ocurre el suceso A, o bien, es el suceso constituido por todos los sucesos elementales del espacio muestral E que no pertenecen a A

Diferencia de Sucesos Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: Se define como la diferencia de ambos sucesos A y B a: Otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a A, pero no a B

A B A B - = n Diferencia Simétrica de Sucesos Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio: Se define como diferencia simétrica de ambos sucesos A y B a: Otro suceso constituido por los sucesos elementales que pertenecen a A, o a B, pero que no simultáneamente a ambos

Propiedades de las Operaciones con Sucesos

Los sucesos asociados a un experimento aleatorio verifican las siguientes propiedades:

En resumen, podemos decir que a partir del espacio muestral E, hemos llegado a definir la colección de sucesos A=P(E) que tiene estructura de Algebra de Sucesos o Algebra de Boole si el espacio muestral es finito o bien tiene la estructura de a- Algebra si el espacio muestral es infinito

Al par (E, A) en donde E es el espacio muestral y A una a-Algebra sobre E, le llamaremos espacio o conjunto medible, en el cual será posible establecer una medida o probabilidad, como se verá después

Métodos de Enumeración o Conteo

Las siguientes son algunas técnicas útiles para contar el número de resultados o sucesos de un experimento aleatorio

Tablas de Doble Entrada Es útil para relacionar dos pruebas, indicándonos los resultados que integran el espacio muestral, pudiendo indicar sobre la tabla determinados sucesos en los que estemos interesados. En general con m elementos a1, a2, a3,..., am y n elementos b1, b2, b3,..., bn es posible formar m x n pares (ar , bs) tales que cada par tiene al menos algún elemento diferente de cada grupo

Principio de Multiplicación

Diagramas de árbol Este diagrama nos permite indicar de manera sencilla el conjunto de posibles resultados en un experimento aleatorio siempre y cuando los resultados del experimento puedan obtenerse en diferentes fases sucesivas

Ej: Experimento aleatorio consistente en lanzar al aire un dado y después 3 veces consecutivas una moneda

Combinaciones, Variaciones y Permutaciones Combinaciones

Combinaciones con repetición Si en los subconjuntos anteriores se pueden repetir los elementos

Llamaremos variaciones de m elementos tomados de n en n a los distintos subconjuntos diferentes de n elementos que se pueden formar con los m elementos, influyendo el orden en el que se toman

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