Capítulo III:  DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

3.1. Introducción

 

Estudiaremos dos características de un mismo elemento de la población (altura y peso, dos asignaturas, longitud y latitud).

De forma general, si se estudian sobre una misma población y se miden por las mismas unidades estadísticas una variable X y una variable Y, se obtienen series estadísticas de las variables X e Y.

Considerando simultáneamente las dos series, se suele decir que estamos ante una variable estadística bidimensional.

3.2. Tabulación de variables estadísticas bidimensionales

 

Vamos a considerar 2 tipos de tabulaciones:

1º) Para variables cuantitativas, que reciben el nombre de tabla de correlación.

2º) Para variables cualitativas, que reciben el nombre de tabla de contingencia.

3.2.1.Tablas de correlación

Sea una población estudiada simultaneamente según dos caracteres X e Y; que representaremos genéricamente como (xi; yj ; nij), donde xi; yj, son dos valores cualesquiera y nij es la frecuencia absoluta conjunta del valor i-ésimo de X con el j-ésimo de Y.

Una forma de disponer estos resultados es la conocida como tabla de doble entrada o tabla de correlación, la cual podemos representar como sigue:  Tipos de distribuciones Cuando se estudian conjuntamente dos variables, surgen tres tipo de distribuciones: Distribuciones conjuntas, distribuciones marginales y distribuciones condicionadas.

a) Distribución conjunta - La frecuencia absoluta conjunta, viene determinada por el número de veces que aparece el par ordenado ( xi , yj ), y se representa por “ nij ”.

- La frecuencia relativa conjunta, del par ( xi , yj ) es el cociente entre la frecuencia absoluta conjunta y el número total de observaciones. Se trata de “ fij ”.

Se cumplen las siguientes relaciones entre las frecuencias de distribución conjunta: 1ª) La suma de las frecuencias absolutas conjuntas, extendida a todos los pares es igual.

2ª) La suma de todas las frecuencias relativas conjuntas extendida a todos los pares es igual a la unidad.

b) Distribuciones marginales Cuando trabajamos con más de una variable y queremos calcular las distribuciones de frecuencias de cada una de manera independiente, nos encontramos con las distribuciones marginales.

- Frecuencia absoluta marginal: el valor ni. Representa el número de veces que aparece el valor xi de X, sin tener en cuenta cual es el valor de la variable Y. A ni. se le denomina frecuencia absoluta marginal del valor xi de X, de forma que:

Frecuencia relativa marginal La frecuencia relativa marginal de xi de X, viene dada por:

La frecuencia relativa marginal de yj de Y, viene dada por:

- Se cumplen las siguientes relaciones entre las frecuencias de distribución marginales: 1ª) La suma de frecuencias absolutas marginales de la variable X, es igual al número de observaciones que componen la muestra 2ª) La suma de las frecuencias relativas marginales de la variable X, es igual a 1

3ª) Las dos propiedades anteriores se cumplen también para la variable Y

c) Distribuciones condicionadas Consideremos a los n.j individuos de la población que representan la modalidad yj de la variable Y, y obsérvese la columna j-esima de la tabla. Sus n.j elementos constituyen una población, que es un subconjunto de la población total.

El razonamiento es análogo cuando condicionamos la variable Y a un determinado valor de X, es decir Y /xi

¿ Cuál es la distribución de la retribución, pero únicamente de los empleados con una antigüedad de 5 años?, es decir ¿ cual es la distribución condicionada de la variable X condicionada a que Y sea igual a 5?  Covarianza La covarianza mide la forma en que varía conjuntamente dos variables X e Y En el estudio conjunto de dos variables, lo que nos interesa principalmente es saber si existe algún tipo de relación entre ellas. Veremos ahora una medida descriptiva que sirve para medir o cuantificar esta relación:

Si Sxy >0 hay dependencia directa (positiva), es decir las variaciones de las variables tienen el mismo sentido Si Sxy = 0 las variables están incorreladas, es decir no hay relación lineal, pero podría existir otro tipo de relación.

Si Sxy < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir las variaciones de las variables tienen sentido opuesto.

Gráficamente, indicaría la Covarianza, que los datos, se ajustan a una recta, en los siguientes casos:

- La covarianza no es un parámetro acotado, y puede tomar cualquier valor real, por lo que su magnitud no es importante; lo significativo es el signo que adopte la misma.

Al tener la covarianza entre ambas variables signo positivo, podemos deducir que existe una relación directa o positiva entre ambas variables, es decir, cuando aumenta la “ edad ” del insecto también aumenta su tamaño

3.2.2.Tablas de contingencia

Cuando tenemos la información de 2 variables de tipo cualitativo o de una variable cualitativa y otra cuantitativa, se dispone de una tabla de contingencia. Nos limitaremos al caso de 2 variables. Es una tabla de doble entrada en la que en las filas se ubican las modalidades de una de las variables ( atributos ) y en las columnas las del otro; en las celdas resultantes del cruce de las filas y las columnas se incluye el número de elementos de la distribución que presentan ambas modalidades

Si se tiene información de N elementos acerca de las variables A y B de tal forma que presentan “ r ” y “ s ” modalidades respectivamente, la tabla de contingencia sería de la forma:

tabla de contingencia r x s nij= número de elementos de la distribución que presentan la modalidad i –ésima del atributo A y la modalidad j – esima del atributo B

ni.= ni1+ ni2+ … + nis --.. número de elementos de la distribución con la i – ésima modalidad del atributo A

Como a las variables cualitativas no se les puede someter a operaciones de sumas, restas y divisiones, al venir expresadas en escalas nominales u ordinales no tiene sentido hablar de medias marginales, condicionadas, varianzas, etc; si podríamos calcular la moda en el caso de que se empleara una escala nominal y de la mediana si utilizamos escalas ordinales.

	Web eumed.net

Volver al índice de Manual de Estadística

Volver a "Libros Gratis de Economía"

Volver a la "Enciclopedia y Biblioteca de Economía EMVI"