MANUAL DE ESTADÍSTICAS

David Ruíz Muñoz
Universidad Pablo de Olavide

Capítulo II : Características de una Distribución de Frecuencias

Medidas de forma

Hasta ahora, hemos estado analizando y estudiando la dispersión de una distribución, pero parece evidente que necesitamos conocer más sobre el comportamiento de una distribución. En esta parte, analizaremos las medidas de forma, en el sentido de histograma o representación de datos, es decir, que información nos aporta según la forma que tengan la disposición de datos

Las medidas de forma de una distribución se pueden clasificar en dos grandes grupos o bloques: medidas de asimetría y medidas de curtosis.

Medidas de asimetría o sesgo: Coeficiente de asimetría de Fisher

Cuando al trazar una vertical, en el diagrama de barras o histograma, de una variable, según sea esta discreta o continua, por el valor de la media, esta vertical, se transforma en eje de simetría, decimos que la distribución es simétrica. En caso contrario, dicha distribución será asimétrica o diremos que presenta asimetría.

El coeficiente de asimetría más preciso es el de Fisher, que se define por:

Según sea el valor de g1, diremos que la distribución es asimétrica a derechas o positiva, a izquierdas o negativa, o simétrica, o sea:

Medidas de apuntamiento o curtosis: Coeficiente de curtosis de Fisher

Con estas medidas nos estamos refiriendo al grado de apuntamiento que tiene una distribución; para determinarlo, emplearemos el coeficiente de curtosis de Fisher.
- Si existe simetría, entonces g1 = 0, y Me X = ; si además la distribución es unimodal, también podemos afirmar que:

Medidas de concentración

Las medidas de concentración tratan de poner de relieve el mayor o menor grado de igualdad en el reparto del total de los valores de la variable, son por tanto indicadores del grado de distribución de la variable Para este fin, están concebidos los estudios sobre concentración

Denominamos concentración a la mayor o menor equidad en el reparto de la suma total de los valores de la variable considerada (renta, salarios, etc.)

Las infinitas posibilidades que pueden adoptar los valores, se encuentran entre los dos extremos:

  1. Concentración máxima, cuando uno solo percibe el total y los demás nada, en este caso, nos encontraremos ante un reparto no equitativo: x1 = x2 = x3 = ………… = xn-1 = 0 y xn.

  2. Concentración mínima, cuando el conjunto total de valores de la variable esta repartido por igual, en este caso diremos que estamos ante un reparto equitativo x1 = x2 = x3 = ………… = xn-1 = xn .

De las diferentes medidas de concentración que existen nos vamos a centrar en dos: Indice de Gini, Coeficiente, por tanto será un valor numérico.

Curva de Lorenz, gráfico, por tanto será una representación en ejes coordenados. Sea una distribución de rentas (xi, ni) de la que formaremos una tabla con las siguientes columnas:

  1. Los productos xi ni, que nos indicarán la renta total percibida por los ni rentistas de renta individual xi

  2. Las frecuencias absolutas acumuladas Ni.

  3. Los totales acumulados ui que se calculan de la siguiente forma: u1= x1 n1 u2 = x1 n1 + x2 n2 u3 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 u4 = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4 n4 un = x1 n1 + x2 n2 + x3 n3 + x4 n4 + …………… + xn nn .

  4. La columna total de frecuencias acumuladas relativas, que expresaremos en tanto por ciento y que representaremos como pi y que vendrá dada por la siguiente notación.

  5. La renta total de todos los rentistas que será un y que dada en tanto por ciento, la cual representaremos como qi y que responderá a la siguiente notación:

Por tanto ya podemos confeccionar la tabla que será la siguiente:

Como podemos ver la última columna es la diferencia entre las dos penúltimas, esta diferencia seria 0 para la concentración mínima ya que pi = qi y por tanto su diferencia seria cero.

Si esto lo representamos gráficamente obtendremos la curva de concentración o curva de Lorenz .La manera de representarlo será, en el eje de las X, los valores pi en % y en el de las Y los valores de qi en %. Al ser un %, el gráfico siempre será un cuadrado, y la gráfica será una curva que se unirá al cuadrado, por los valores (0,0), y (100,100), y quedará siempre por debajo de la diagonal.

La manera de interpretarla será: cuanto más cerca se sitúe esta curva de la diagonal, menor concentración habrá, o más homogeneidad en la distribución. Cuanto más se acerque a los ejes, por la parte inferior del cuadrado, mayor concentración.

Los extremos son Analíticamente calcularemos el índice de Gini el cual responde a la siguiente ecuación

Observamos que hay poca concentración por encontrarse cerca del 0.

Curva de Lorenz

La curva la obtenemos cerca de la diagonal, que indica que hay poca concentración.

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