Capítulo II : CARACTERÍSTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

2.2.2. Medidas de posición no central ( Cuantiles )

Los cuantiles son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la distribución en partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el mismo número de frecuencias.

Los cuantiles más conocidos son:

a) Cuartiles ( Qi ) Son valores de la variable que dividen a la distribución en 4 partes, cada una de las cuales engloba el 25 % de las mismas. Se denotan de la siguiente forma: Q1 es el primer cuartil que deja a su izquierda el 25 % de los datos; Q2 es el segundo cuartil que deja a su izquierda el 50% de los datos, y Q3 es el tercer cuartil que deja a su izquierda el 75% de los datos. (Q2 = Me) b) Deciles ( Di) Son los valores de la variable que dividen a la distribución en las partes iguales, cada una de las cuales engloba el 10 % de los datos. En total habrá 9 deciles. (Q2 = D5 = Me ).

c) Centiles o Percentiles ( Pi ) Son los valores que dividen a la distribución en 100 partes iguales, cada una de las cuales engloba el 1 % de las observaciones. En total habrá 99 percentiles. (Q2 = D5 = Me = P50) • Cálculo de los cuantiles en distribuciones no agrupadas en intervalos - Se calculan a través de la siguiente expresión: q rN , siendo : r = el orden del cuantil correspondiente q = el número de intervalos con iguales frecuencias u observaciones ( q = 4, 10, ó 100 ).

N = número total de observaciones - La anterior expresión nos indica que valor de la variable estudiada es el cuantil que nos piden, que se corresponderá con el primer valor cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a q rN Ejemplo: DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: En la siguiente distribución (ver tabla en formato doc).

Calcular la mediana (Me); el primer y tercer cuartil (C1,C3); el 4º decil (D4) y el 90 percentil (P90) Mediana (Me) (VER TABLA EN FORMATO DOC).

Primer cuartil (C1)

Cuarto decil (D4) Nonagésimo percentil

(P90) Nonagésimo percentil (P90) .

• Cálculo de los cuantiles en distribuciones agrupadas en intervalos - Este cálculo se resuelve de manera idéntica al de la mediana.

- El intervalo donde se encuentra el cuantil i-esimo, es el primero que una vez ordenados los datos de menor a mayor, tenga como frecuencia acumulada ( Ni ) un valor superior o igual a q rN .

2.3. Momentos potenciales

Los momentos son medidas obtenidas a partir de todos los datos de una variable estadística y sus frecuencias absolutas. Estas medidas caracterizan a las distribuciones de frecuencias de tal forma que si los momentos coinciden en dos distribuciones, diremos que son iguales.

2.3.1. Momentos respecto al origen

Se define el momento de orden h respecto al origen de una variable estadística a la expresión: (VER TABLA EN FORMATO DOC).

2.3.2. Momentos centrales o momentos con respecto a la media aritmética (VER TABLA EN FORMATO DOC)  

2.4. Medidas de dispersión

Las medidas de dispersión tratan de medir el grado de dispersión que tiene una variable estadística en torno a una medida de posición o tendencia central, indicándonos lo representativa que es la medida de posición. A mayor dispersión menor representatividad de la medida de posición y viceversa.

2.4.1 Medidas de dispersión absoluta

a) Recorrido ( Re ) Se define como la diferencia entre el máximo y el mínimo valor de la variable: (VER FORMATO DOC).

b) Desviación absoluta media con respecto a la media ( de ) Nos indica las desviaciones con respecto a la media con respecto a la media aritmética en valor absoluto.

(VER FORMATO DOC)

c) Varianza La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media aritmética. Cuanto mayor sea la varianza mayor dispersión existirá y por tanto menor representatividad tendrá la media aritmética.

La varianza se expresa en las mismas unidades que la variable analizada, pero elevadas al cuadrado. (VER TABLA EN FORMATO DOC)

1ª) La varianza siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito ( ) 0 2 = x S 2ª) Si a una variable X la sometemos a un cambio de origen “ a ” y un cambio de escala “ b ”, la varianza de la nueva variable Y= a + bX, será: (VER FORMATO DOC)

2.4.2. Medidas de dispersión relativa

Nos permiten comparar la dispersión de distintas distribuciones.

a) Coeficiente de variación de Pearson ( CVx ) Indica la relación existente entre la desviación típica de una muestra y su media. (VER TABLA EN FORMATO DOC).

Al dividir la desviación típica por la media se convierte en un valor excento de unidad de medida. Si comparamos la dispersión en varios conjuntos de observaciones tendrá menor dispersión aquella que tenga menor coeficiente de variación.

El principal inconveniente, es que al ser un coeficiente inversamente proporcional a la media aritmética, cuando está tome valores cercanos a cero, el coeficiente tenderá a infinito.

Ejemplo: Calcula la varianza, desviación típica y la dispersión relativa de esta distribución.

(VER TABLAS EN FORMATO DOC).

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