LA NUEVA ECONOMÍA DEL CRECIMIENTO

El modelo de Solow o modelo de ahorro exógeno, visto anteriormente, considera que el ahorro es una variable dada en la economía, la cual depende de los patrones del consumo. Por ello el modelo predice que en economías desarrolladas se da un crecimiento de tipo estacionario o cero, las demás economías crecen a ritmos mayores pero convergen a esta tasa.
Tal como se demostró en el capítulo anterior, el modelo de Solow, considera el siguiente equilibrio:

k = s. A kt ß-1 Lt + ß-1 - (+n)

Donde se considero que:
Yt = A Ktß Lt Función de producción
k = kt / kt Crecimiento del capital por persona

Siguiendo el modelo de Solow, se predice que las economías llegan a un estado estacionario, es decir comienzan a crecer a tasas constantes, de modo que podemos rescribir la ecuación anterior en logaritmos:

ln k + ln ( + n) = sA + ( ß - 1 ) [ln kt ] + ( + ß - 1 ) ln Lt

Si derivamos los logaritmos con respecto al tiempo obtendremos las tasas de crecimiento de las variables, sin embargo el capital, el ahorro, el nivel tecnológico (A), la depreciación, se hacen de crecimiento constante en el nivel estacionario, de modo que su crecimiento adicional es cero. Por ello el modelo resulta:

k* ( ß -1) + n ( + ß -1 ) = 0

A partir de este modelo podemos establecer las siguientes conclusiones: En economías de crecimiento constante tenemos que los indicadores productivos suman uno, + ß = 1, donde ambos miden el rendimiento constante del capital. En este caso la economía crece a un ritmo cero:

k* = 0

Si la economía exhibe rendimientos decrecientes del capital medidos por ß < 1, la tasa de crecimiento a medida que ß baja, se aproxima a cero. Esto quiere decir que en economías neoclásicas el crecimiento estable es cero, sin embargo la realidad es distinta.
Siguiendo a Sala i Martin (1994), podemos mencionar que las economías desarrolladas por lo general han tenido etapas de expansión a tasas mayores de cero, para explicar ello se mencionaron efectos de crecimiento exógeno, es decir lo que movió el producto fueron cambios de productividad constante ßA = x. Este cambio no explicado en el modelo orginal fue llamado residuo de Solow.
Para incorporar estos efectos de crecimiento no constante, se planteó el modelo de Solow con ajustes en la función de producció, el cual queda así:

Yt = A Kt

En este caso el modelo de crecimiento del capital por persona es:

k * = s. A - + n

En el caso de tener un rendimiento constante del capital y rendimientos constantes de escala productiva, en el estado estacionario, implica que las economías crecen impulsadas por el ahorro y la tasa de crecimiento poblacional, a este modelo se le denominó crecimiento por ahorro endógeno, el cual es un modelo no convergente. El modelo plantea que para cambios en el ahorro se generan relaciones de largo plazo en el crecimiento económico, igual si se dan cambios en la tecnología (A) o en los niveles de población. El gráfico 6.4 muestra la dinámica cuando se dan modelos endógenos.

GRÁFICO 6.4. MODELO DE AHORRO ENDÓGENO

A partir de la realidad cambiante y más diversa que el modelo de Solow, se realizó un modelo ajustado por Solow y Swan. En este modelo se supone que + ß =1, es decir rendimientos a escala constante, pero se considera que el capital tiene rendimientos decrecientes (0 < ß < 1). En este caso el modelo de crecimiento del capital por persona es:

k * = s. A kt- (1-ß) - (+n)

GRÁFICO 6.5. MODELO DE CRECIMIENTO DE AHORRO CONSTANTE

Siguiendo el gráfico 6.5 encontramos que cuando K es menor al nivel de capital del estado estacionario, entonces el capital crece hacia ese estado, es decir converge, esto se da porque los niveles de ahorro son mayores que los recursos necesarios para reponer capital, de modo que el capital por persona crece. Un nivel mayor de capital al estacionario, genera un déficit de fondos para cubrir el gasto de capital, de modo que el capital por persona decae y la economía se ajusta hacia el estado estacionario.
Para medir la velocidad de cambio del capital podemos rescribir la ecuación anterior en logaritmos:

ln k * = (s. A)[ - (1-ß) ln kt ] - ln (+n)

Si consideramos que el capital crece a ritmos exponenciales e, entonces tenemos que:

A [ - (1-ß) ln kt ] = A e- (1-ß) ln k

Además en el estado estacionario se ha demostrado que:

s. A kt*- (1-ß) = (+n)

Lo que se cumple igual en el crecimiento exponencial:

s. A e - (1-ß) ln k* = (+n)

De este modo, la expresión queda:

ln k * = s. A e - (1-ß) ln k - s. A e - (1-ß) ln k*

Derivando (Taylor de primer orden) obtenemos:

k = - (1-ß) (+n) [log kt - log kt* ]

>En esta ecuación (1-ß) (+n) representa la velocidad a la que crecen las economías hacia el estado estacionario y ß es la tasa de participación del capital. Por ejemplo, una economía con una tasa de depreciación del 3 al 25%, una tasa de capital de 12 a 14%, un crecimiento poblacional de 2%, crece a tasas de crecimiento de capital de:

(1-ß) (+n) = ( 1 - 0.12)( 0.03 + 0.02 ) = 0.044 : 4.4%

Obviamente los activos depreciados al 25% son una pequeña proporción de la economía, de modo que es posible un crecimiento del capital anual de 4.4%, sin embargo esto es bajo para lograr un crecimiento productivo acelerado, a esta tasa en cuanto tiempo llegaremos al estado estacionario, veamos una aproximación simple:

n Log (1.044) = log 2, n = 16 años

GRÁFICO 6.6. CONVERGENCIA Y CRECIMIENTO

La reciente teoría del crecimiento económico, se traslada al análisis del comportamiento del agente en sus niveles de ahorro y consumo. En los modelos anteriores se supone que el ahorro es exógeno o endógeno al comportamiento de variables macroeconómicas.
En estos modelos recientes de crecimiento basados en la conducta de los agentes, el ahorro responde a la actitud racional de maximización del consumo. Estos nuevos enfoques se denominan modelos de crecimiento neoclásico (Ramsey, Cass, Koopman). Partimos del modelo de crecimiento de capital:

K = F (K,L) - C - K

Donde:
C : Consumo
F : Producción
K : Depreciación

En términos per cápita tenemos:

K / L = f(k) - c - k

Resolviendo para hallar el crecimiento de K / L y despejando k, obtenemos:

k* = f(k) - c - (+n)k

Por otro lado, los agentes maximizan la utilidad del consumo per cápita:

U = 0, e - (p-n) t[ ( ct 1- - 1) / 1 - ] dt

Sujeto al comportamiento del capital per cápita:

k* = f(k) - c - (+n)k

Donde:
P : Tasa de descuento para el consumo futuro
t : Tiempo de 0 a infinito
ct : Consumo del período t
: Indicador de concavidad de la función de utilidad

Puede plantearse el modelo siguiente, en términos de optimización:

H = e - (p- n) t [ ( ct 1- - 1 ) / 1 - ] + v [ f(k) - c - ( + n) k ]

Ahora obtenemos las condiciones de primer orden para el consumo (Hc) y el capital (Hk), en este caso el óptimo del consumo es cuando su crecimiento marginal llega a cero y el óptimo de la inversión, es cuando su valor es igual a la tasa de crecimiento del precio pagado por los bienes de capital o bienes invertidos: - v*:

Hc = e - (p-n) t ct - - v = 0
Hk = v (f (k) - (+n) = - v*

Si Hc se iguala a cero y se desarrollan logaritmos queda:

- (p-n) t - log ct = log v

Derivando esta expresión para hallar la tasa de crecimiento del consumo:

- ( p - n ) - c* = v *

Igualando el último resultado con Hk:

( p - n ) + c* = v (f (k) - (+n)

De este modo obtenemos el consumo en tasas de variación per cápita:

c* = -1 [ v (f (k) - - p ]

Esto implica que los rendimientos del ahorro o la inversión por la productividad marginal del capital menos la depreciación y ajustadas por la tasa de descuento, son equivalentes a las tasas de crecimiento del consumo.
Si el consumo se estabiliza y crece a tasa constante o cero, el modelo queda en estado estacionario y se representa así:

f (k) = p +

Si consideramos que la función de producción es:

y = AkB

Donde:
f (k) = AB kB-1

Entonces el capital estacionario se deduce partir de la ecuación:

[ AB / p + ]1 / 1- B = k*

Como se deduce finalmente el capital crece impulsado por la tecnología y es inverso al crecimiento de las tasas de descuento y de los niveles de depreciación. Junto con el capital crecen el ahorro y el consumo. El gráfico 6.7 resume la dinámica del capital per cápita:

GRÁFICO 6.7. MODELO NEOCLÁSICO DE CRECIMIENTO

El gráfico muestra que cuando el consumo es excesivo, reduce los niveles de ahorro y capital, de modo que volvemos al estado estacionario. Por otro lado bajos niveles de consumo, nos llevan a un ahorro que expande el capital y volvemos al nivel estacionario.
Las variantes a los modelos del crecimiento han sido ampliamente señaladas, Barro introduce al gobierno en la senda de crecimiento, en este caso existe una relación positiva entre gasto público y crecimiento, relación que cambia de modo negativo cuando el tamaño del estado es excesivo, pudiendo ello retroceder el crecimiento de un país.
Asimismo es posible introducir en el análisis del capital humano, el aprendizaje y la investigación y desarrollo de las empresas, en estos casos el aprendizaje y la investigación elevan la productividad del capital, y mejora los avances tecnológicos, por lo que es posible esperar un mayor crecimiento de las economías.